同じく推測ですが

　申し訳ありません、私のこのカキコも推測でしかないのですが……。

　手元のランダムハウスによれば、「like smoke」はまれにしか使わないものの、「たやすく、わけなく、たちまち、ぱっと」という意味だそうで、用例として、
　On finding a cobra he ran like smoke. コブラに出くわすや彼は一目散に逃げた。
というものがあげられています。この用例だと「ran like smoke」は、「煙がたちまちかき消えてしまう」ように「一目散に逃げた」という意味のようです。

　それから、『海軍将校リチャード・デランシー』シリーズの第２巻、『海からきたスパイ』の表紙折り返しに、原題(Devil to Pay）の説明があります。その中にoakumの説明がありまして……。
　それによれば、oakum（まいはだ）は、 只野さんがおっしゃるように、古いロープをほぐした繊維で、艦側等のつなぎ目の充填材として使用されるのだけれど、これを埋め込んだだけでは、充填の意味がない。水に当たるとたちまちほぐれて散ってしまうから。だから、通常まいはだを隙間に木槌などで打ち込んだ後、溶かしたタール（ピッチ）を流し込んで埋めるのですが……。
　水に当たるとたちまちほぐれて散ってしまう、という性質（ほぐした植物繊維なら、おそらく風にも飛ばされやすい）と、先の煙の例からいくと、これも「たちまち（風や水のために消えてしまう）」という例として使うことが出来るのではないか。

　したがって、「Run like smoke and oakum」は、「サッサと逃げろ！」という意味ではないかと思うのですが……いかがなものでしょうね……ネイティブに聞いてみたいものです。